🎯 零极点分布与系统特性
✅ 一、什么是系统的零点与极点？
系统函数通常长成这样：
\[H(s) = \frac{(s - z_1)(s - z_2)\dots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\dots(s - p_n)}
\]
分子上的 \(z_i\)：叫 零点
分母上的 \(p_i\)：叫 极点
📌 零点让响应为 0，像“消音器”
📌 极点让响应变大，像“共振腔”，还会决定稳定性
✅ 二、极点的作用是什么？
极点是系统的“核心DNA”，它控制着系统的性格：
极点位置
系统行为
\(\text{Re}(p_i) < 0\)
指数衰减 → 稳定 ✅
\(\text{Re}(p_i) > 0\)
指数发散 → 不稳定 ❌
\(\text{Re}(p_i) = 0\) 且有重根
边界稳定，但可能震荡
🌈 例子对比：
\(H(s) = \frac{1}{s + 2}\)
→ 极点 \(-2\)，稳定，一阶低通滤波器
\(H(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 2}\)
→ 极点是复数对 \(-1 \pm j\)，带振荡但稳定
\(H(s) = \frac{1}{s - 2}\)
→ 极点 \(+2\)，不稳定！
✅ 三、零点又做什么？
零点是“屏蔽频率的机关”：
系统对零点附近的输入频率“反应很小”
用于控制带宽、滤波行为、提高系统选择性
例子：
\(H(s) = \frac{s}{s + 1}\)
→ 零点在 \(s = 0\)，说明低频成分被压制（高通）
✅ 四、极点图怎么看？
我们常画s 平面图，横轴实部，纵轴虚部：
| ×
| × × ← 复数极点对
Im | × ×
|----------------------------→ Re
| ● ●
| 零点 零点
× 是极点，● 是零点
极点越靠左 → 越稳定、越快衰减
极点越靠右 → 越慢、甚至发散
极点在虚轴附近 → 越可能产生震荡
✅ 五、我们可以从 H(s) 的分母分子直接看出：
例：
\[H(s) = \frac{(s + 1)}{(s + 3)(s^2 + 2s + 5)}
\]
零点：\(s = -1\)
极点：一个实极点 \(-3\)，一对复数极点 \(-1 \pm 2j\)
系统是稳定的（因为实部都 < 0）
✨ 小练习你来试试：
给定系统函数：
\[H(s) = \frac{s + 2}{(s + 1)(s^2 + 4)}
\]
你能告诉我：
零点在哪里？极点在哪里？
系统稳不稳定？
响应可能是震荡的？快速收敛的？还是发散的？
🎯 你学到的图像判断口诀：
极点在哪
系统行为
稳定性
实部 < 0
衰减、稳定
✅ 稳定
实部 = 0 且无重复
正弦震荡
⚠️ 边界稳定
实部 > 0 或重复虚点
越跳越大
❌ 不稳定